Trinomio Cuadrado Perfecto

 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Definición:

Se obtiene un trinomio cuadrado perfecto al desarrollar el cuadrado de una suma o el cuadrado de una diferencia de términos. Ambos desarrollos se conocen con el nombre de productos notables.

Podemos tener 2 fórmulas del trinomio al cuadrado perfecto y son:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

En primer lugar se tiene el cuadrado de la suma: (a + b)2. Al desarrollar esta expresión se obtiene:

(a + b)2 = (a + b) × (a + b) = a2 + a∙b + b∙a + b2

Los dos términos centrales son idénticos y se reducen a  2a∙b, por lo tanto:

(a + b)2 = a2 + 2a∙b + b2

El trinomio a2 + 2a∙b + b2 contiene dos cuadrados perfectos: a2 y b2, mientras que el término restante es igual al doble producto de los dos términos del binomio original.

El cuadrado de una diferencia resulta un trinomio semejante al anterior, salvo por un signo negativo que afecta al doble producto de los términos del binomio original:

(a − b)2 = (a − b) × (a − b) = a2 −  a∙b −  b∙a + b2

Nuevamente se reducen los términos semejantes a un solo término y se obtiene que:

(a − b)2 = a2 −  2a∙b + b2

Ya no es posible reducir más el resultado.

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Se pueden factorizar por inspección a partir de los productos notables:

(a + b)2 = a2 + 2a∙b + b2

(a − b)2 = a2 − 2a∙b + b2

Los pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto son:

1.- Verificar que el trinomio contiene dos cuadrados perfectos a2 y b2, ambos términos deben estar precedidos por el mismo signo, usualmente el signo +. Si ambos están precedidos por signo − este se puede factorizar sin problema.

2.- Determinar los valores de a y b extrayendo la raíz cuadrada de a2 y b2.

3.- Corroborar que el tercer término es el doble producto de a y b.

EJEMPLOS

1)  x2 + 4x + 4

= x2 + 2.2.x + 22 =  (x + 2)2

2)   x2 + 8x + 16

= x2 + 2.4.x + 42 =  (x + 4)2

3)  9x2 + 18x + 9

= (3x)2 + 2.3x.3 + 32 =  (2x + 3)2